# Reachable set at a certain time for a Dubins car in the case of a one-sided turn

Валерий Семенович Пацко, Андрей Анатольевич Федотов

Research output: Contribution to journalArticleResearchpeer-review

### Abstract

We study a three-dimensional reachable set “at a time” for a nonlinear control system often called a Dubins car. The controlled object (a car) moves in a plane with a constant linear velocity and bounded turning radius. The case where the car can turn left and right was studied earlier. In this paper, we investigate the case where the car can turn only in one direction. In the case where the constraints imposed on the control permit a straight line motion, we prove that the system can be guided to any point of the boundary of the reachable set by means of a piecewise-constant control with at most two switchings. Moreover, two-dimensional sections of the reachable set with constant angular coordinate are convex. If the constraints on the control forbid a straight line motion (which means that the car is turning at each time and the turning radius is chosen within prescribed limits), then the number of switchings of a piecewise-constant control guiding the system to the boundary of the reachable set grows with the growth of the time for which the reachable set is constructed. We consider in detail the case where this time is not greater than the time needed for a turn with the smallest possible turning radius. In this case, any piecewise-constant control guiding the system to the boundary has at most two switchings, and the sections of the reachable set with constant angular coordinate are strictly convex.
Translated title of the contribution Reachable set at a certain time for a Dubins car in the case of a one-sided turn Russian 143-155 13 Труды института математики и механики УрО РАН 24 1 https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-1-143-155 Published - 2018

### Fingerprint

Reachable Set
Straight Line
Nonlinear Control Systems
Motion
Strictly Convex
Three-dimensional

### GRNTI

• 27.00.00 MATHEMATICS

• VAK List

### Cite this

@article{38cffb50622b4ea4aa22124f24dc2fb1,
title = "МНОЖЕСТВО ДОСТИЖИМОСТИ В МОМЕНТ ДЛЯ МАШИНЫ ДУБИНСА В СЛУЧАЕ ОДНОСТОРОННЕГО ПОВОРОТА",
abstract = "Исследуется трехмерное множество достижимости “в момент” для нелинейной управляемой системы, которую часто называют машиной Дубинса. Управляемый объект движется на плоскости с постоянной линейной скоростью и ограниченным радиусом поворота. Случай, когда повороты возможны в обе стороны, рассматривался ранее. В данной работе изучается случай, когда поворот возможен только в одну сторону. Если ограничение на управление допускает движение по прямой, то доказано утверждение о том, что в любую точку на границе множества достижимости ведет кусочно-постоянное управление, количество переключений которого не больше двух. Кроме того, двумерные сечения множества достижимости по угловой координате являются выпуклыми. Если движение по прямой исключено в силу заданных ограничений на управление (в каждый текущий момент объект находится в состоянии поворота, при помощи управления выбирается в оговоренных пределах радиус поворота), то количество переключений кусочно-постоянного управления, ведущего на границу множества достижимости в момент, растет с увеличением момента времени, для которого строится множество достижимости. Подробно рассматривается случай, когда такой момент не больше времени поворота на угол с наименьшим возможным радиусом. Здесь любое кусочно-постоянное управление, ведущее на границу, имеет не более двух переключений и сечения множества достижимости по угловой координате являются строго выпуклыми.",
author = "Пацко, {Валерий Семенович} and Федотов, {Андрей Анатольевич}",
year = "2018",
doi = "10.21538/0134-4889-2018-24-1-143-155",
language = "Русский",
volume = "24",
pages = "143--155",
journal = "Труды института математики и механики УрО РАН",
issn = "0134-4889",
publisher = "Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН",
number = "1",

}

TY - JOUR

T1 - МНОЖЕСТВО ДОСТИЖИМОСТИ В МОМЕНТ ДЛЯ МАШИНЫ ДУБИНСА В СЛУЧАЕ ОДНОСТОРОННЕГО ПОВОРОТА

AU - Пацко, Валерий Семенович

AU - Федотов, Андрей Анатольевич

PY - 2018

Y1 - 2018

N2 - Исследуется трехмерное множество достижимости “в момент” для нелинейной управляемой системы, которую часто называют машиной Дубинса. Управляемый объект движется на плоскости с постоянной линейной скоростью и ограниченным радиусом поворота. Случай, когда повороты возможны в обе стороны, рассматривался ранее. В данной работе изучается случай, когда поворот возможен только в одну сторону. Если ограничение на управление допускает движение по прямой, то доказано утверждение о том, что в любую точку на границе множества достижимости ведет кусочно-постоянное управление, количество переключений которого не больше двух. Кроме того, двумерные сечения множества достижимости по угловой координате являются выпуклыми. Если движение по прямой исключено в силу заданных ограничений на управление (в каждый текущий момент объект находится в состоянии поворота, при помощи управления выбирается в оговоренных пределах радиус поворота), то количество переключений кусочно-постоянного управления, ведущего на границу множества достижимости в момент, растет с увеличением момента времени, для которого строится множество достижимости. Подробно рассматривается случай, когда такой момент не больше времени поворота на угол с наименьшим возможным радиусом. Здесь любое кусочно-постоянное управление, ведущее на границу, имеет не более двух переключений и сечения множества достижимости по угловой координате являются строго выпуклыми.

AB - Исследуется трехмерное множество достижимости “в момент” для нелинейной управляемой системы, которую часто называют машиной Дубинса. Управляемый объект движется на плоскости с постоянной линейной скоростью и ограниченным радиусом поворота. Случай, когда повороты возможны в обе стороны, рассматривался ранее. В данной работе изучается случай, когда поворот возможен только в одну сторону. Если ограничение на управление допускает движение по прямой, то доказано утверждение о том, что в любую точку на границе множества достижимости ведет кусочно-постоянное управление, количество переключений которого не больше двух. Кроме того, двумерные сечения множества достижимости по угловой координате являются выпуклыми. Если движение по прямой исключено в силу заданных ограничений на управление (в каждый текущий момент объект находится в состоянии поворота, при помощи управления выбирается в оговоренных пределах радиус поворота), то количество переключений кусочно-постоянного управления, ведущего на границу множества достижимости в момент, растет с увеличением момента времени, для которого строится множество достижимости. Подробно рассматривается случай, когда такой момент не больше времени поворота на угол с наименьшим возможным радиусом. Здесь любое кусочно-постоянное управление, ведущее на границу, имеет не более двух переключений и сечения множества достижимости по угловой координате являются строго выпуклыми.

UR - https://elibrary.ru/item.asp?id=32604051

U2 - 10.21538/0134-4889-2018-24-1-143-155

DO - 10.21538/0134-4889-2018-24-1-143-155

M3 - Статья

VL - 24

SP - 143

EP - 155

JO - Труды института математики и механики УрО РАН

JF - Труды института математики и механики УрО РАН

SN - 0134-4889

IS - 1

ER -