# Layered B´enard-Marangoni convection during heat transfer according to the Newton's law of cooling

Research output: Contribution to journalArticleResearchpeer-review

### Abstract

The paper considers mathematical modeling of layered Benard-Marangoni convection of a viscous incompressible fluid. The fluid moves in an infinitely extended layer. The Oberbeck-Boussinesq system describing layered Benard-Marangoni convection is overdetermined, since the vertical velocity is zero identically.We have a system of five equations to calculate two components of the velocity vector, temperature and pressure(three equations of impulse conservation, the incompressibility equation and the heat equation). A class of exact solutions is proposed for the solvability of the Oberbeck-Boussinesq system. The structure of the proposed solution is such that the incompressibility equation is satisfied identically. Thus, it is possible to eliminate the«extra» equation. The emphasis is on the study of heat exchange on the free layer boundary, which is considered rigid. In the description of thermocapillary convective motion, heat exchange is set according to the Newton'slaw of cooling. The application of this heat distribution law leads to the third-kind initial-boundary value problem. It is shown that within the presented class of exact solutions to the Oberbeck-Boussinesq equations the overdetermined initial-boundary value problem is reduced to the Sturm-Liouville problem. Consequently, the hydrodynamic fields are expressed using trigonometric functions (the Fourier basis). A transcendental equation is obtained to determine the eigenvalues of the problem. This equation is solved numerically. The numerica lanalysis of the solutions of the system of evolutionary and gradient equations describing fluid flow is executed. Hydrodynamic fields are analyzed by a computational experiment. The existence of counter flows in the fluid layer is shown in the study of the boundary value problem. The existence of counter flows is equivalent to the presence of stagnation points in the fluid, and this testifies to the existence of a local extremum of the kinetic energy of the fluid. It has been established that each velocity component cannot have more than one zero value.Thus, the fluid flow is separated into two zones. The tangential stresses have different signs in these zones.Moreover, there is a fluid layer thickness at which the tangential stresses at the liquid layer equal to zero on the lower boundary. This physical effect is possible only for Newtonian fluids. The temperature and pressure field shave the same properties as velocities. All the nonstationary solutions approach the steady state in this case.
Translated title of the contribution Layered B´enard-Marangoni convection during heat transfer according to the Newton's law of cooling Russian 927-940 14 Компьютерные исследования и моделирование 8 6 Published - 2016

### Fingerprint

Marangoni Convection
Heat convection
Cooling
Heat Transfer
Fluids
Fluid
Boundary value problems
Boussinesq System
Incompressibility
Heat
Flow of fluids
Initial-boundary-value Problem
Hydrodynamics
Fluid Flow
Zero
Exact Solution
Overdetermined Problems
Stagnation Point
Boussinesq Equations
Circular function

• 30.17.00

• VAK List

### Cite this

@article{fe4c5339b18d4d91b5bb7933c385b045,
title = "СЛОИСТАЯ КОНВЕКЦИЯ БЕНАРА-МАРАНГОНИ ПРИ ТЕПЛООБМЕНЕ ПО ЗАКОНУ НЬЮТОНА-РИХМАНА",
abstract = "В работе осуществлено математическое моделирование нестационарной слоистой конвекции Бенара-Марангони вязкой несжимаемой жидкости. Движение жидкости происходит в бесконечно протяженном слое. Система Обербека-Буссинеска, описывающая слоистую конвекцию Бенара-Марангони, является переопределенной, поскольку вертикальная скорость тождественно равна нулю. Для вычисления двух компонент вектора скорости, температуры и давления имеется система пяти уравнений (три уравнения сохранения импульсов, уравнение несжимаемости и уравнение теплопроводности). Для разрешимости системы Обербека-Буссинеска предложен класс точных решений. Структура предложенного решения такова, что уравнение несжимаемости удовлетворяется тождественно. Таким образом, удается устранить«лишнее» уравнение. Основное внимание уделено исследованию теплообмена на свободной границе слоя, которая считается недеформируемой. При описании термокапиллярного конвективного движения теплообмен задавался согласно закону Ньютона-Рихмана. Использование такого закона распространения тепла приводит к начально-краевой задаче третьего рода. Показано, что переопределенная начально-краевая задача в рамках представленного в статье класса точных решений уравнений Обербека-Буссинеска сводится к проблеме Штурма-Лиувилля. Следовательно, гидродинамические поля выражаются через тригонометрические функции (базис Фурье). Для определения собственных чисел задачи получено трансцендентное уравнение, которое решалось численно. Проведен численный анализ решений системы эволюционных и градиентных уравнений, описывающих течение жидкости. На основании вычислительного эксперимента проведен анализ гидродинамических полей. При исследовании краевой задачи было показано существование противотечений в слое жидкости. Существование противотечений эквивалентно наличию застойных точек в жидкости, что говорит о существовании локального экстремума кинетической энергии жидкости. Установлено, что у каждой компоненты скорости может быть не более одного нулевого значения. Таким образом, поток жидкости расслаивается на две зоны. В этих зонах касательные напряжения разного знака. Причем существует толщина слоя жидкости, при которой на нижней границе слоя жидкости касательные напряжения равны нулю. Данный физический эффект возможен только для классических ньютоновских жидкостей. Для поля температуры и давления справедливы те же свойства, что и для скоростей. Отметим, что в данном случае все нестационарные решения выходят на установившийся режим.",
author = "Горшков, {Александр Васильевич} and Просвиряков, {Евгений Юрьевич}",
year = "2016",
language = "Русский",
volume = "8",
pages = "927--940",
journal = "Компьютерные исследования и моделирование",
issn = "2076-7633",
publisher = "Institute of Computer Science Izhevsk",
number = "6",

}

In: Компьютерные исследования и моделирование, Vol. 8, No. 6, 2016, p. 927-940.

Research output: Contribution to journalArticleResearchpeer-review

TY - JOUR

T1 - СЛОИСТАЯ КОНВЕКЦИЯ БЕНАРА-МАРАНГОНИ ПРИ ТЕПЛООБМЕНЕ ПО ЗАКОНУ НЬЮТОНА-РИХМАНА

AU - Горшков, Александр Васильевич

AU - Просвиряков, Евгений Юрьевич

PY - 2016

Y1 - 2016

N2 - В работе осуществлено математическое моделирование нестационарной слоистой конвекции Бенара-Марангони вязкой несжимаемой жидкости. Движение жидкости происходит в бесконечно протяженном слое. Система Обербека-Буссинеска, описывающая слоистую конвекцию Бенара-Марангони, является переопределенной, поскольку вертикальная скорость тождественно равна нулю. Для вычисления двух компонент вектора скорости, температуры и давления имеется система пяти уравнений (три уравнения сохранения импульсов, уравнение несжимаемости и уравнение теплопроводности). Для разрешимости системы Обербека-Буссинеска предложен класс точных решений. Структура предложенного решения такова, что уравнение несжимаемости удовлетворяется тождественно. Таким образом, удается устранить«лишнее» уравнение. Основное внимание уделено исследованию теплообмена на свободной границе слоя, которая считается недеформируемой. При описании термокапиллярного конвективного движения теплообмен задавался согласно закону Ньютона-Рихмана. Использование такого закона распространения тепла приводит к начально-краевой задаче третьего рода. Показано, что переопределенная начально-краевая задача в рамках представленного в статье класса точных решений уравнений Обербека-Буссинеска сводится к проблеме Штурма-Лиувилля. Следовательно, гидродинамические поля выражаются через тригонометрические функции (базис Фурье). Для определения собственных чисел задачи получено трансцендентное уравнение, которое решалось численно. Проведен численный анализ решений системы эволюционных и градиентных уравнений, описывающих течение жидкости. На основании вычислительного эксперимента проведен анализ гидродинамических полей. При исследовании краевой задачи было показано существование противотечений в слое жидкости. Существование противотечений эквивалентно наличию застойных точек в жидкости, что говорит о существовании локального экстремума кинетической энергии жидкости. Установлено, что у каждой компоненты скорости может быть не более одного нулевого значения. Таким образом, поток жидкости расслаивается на две зоны. В этих зонах касательные напряжения разного знака. Причем существует толщина слоя жидкости, при которой на нижней границе слоя жидкости касательные напряжения равны нулю. Данный физический эффект возможен только для классических ньютоновских жидкостей. Для поля температуры и давления справедливы те же свойства, что и для скоростей. Отметим, что в данном случае все нестационарные решения выходят на установившийся режим.

AB - В работе осуществлено математическое моделирование нестационарной слоистой конвекции Бенара-Марангони вязкой несжимаемой жидкости. Движение жидкости происходит в бесконечно протяженном слое. Система Обербека-Буссинеска, описывающая слоистую конвекцию Бенара-Марангони, является переопределенной, поскольку вертикальная скорость тождественно равна нулю. Для вычисления двух компонент вектора скорости, температуры и давления имеется система пяти уравнений (три уравнения сохранения импульсов, уравнение несжимаемости и уравнение теплопроводности). Для разрешимости системы Обербека-Буссинеска предложен класс точных решений. Структура предложенного решения такова, что уравнение несжимаемости удовлетворяется тождественно. Таким образом, удается устранить«лишнее» уравнение. Основное внимание уделено исследованию теплообмена на свободной границе слоя, которая считается недеформируемой. При описании термокапиллярного конвективного движения теплообмен задавался согласно закону Ньютона-Рихмана. Использование такого закона распространения тепла приводит к начально-краевой задаче третьего рода. Показано, что переопределенная начально-краевая задача в рамках представленного в статье класса точных решений уравнений Обербека-Буссинеска сводится к проблеме Штурма-Лиувилля. Следовательно, гидродинамические поля выражаются через тригонометрические функции (базис Фурье). Для определения собственных чисел задачи получено трансцендентное уравнение, которое решалось численно. Проведен численный анализ решений системы эволюционных и градиентных уравнений, описывающих течение жидкости. На основании вычислительного эксперимента проведен анализ гидродинамических полей. При исследовании краевой задачи было показано существование противотечений в слое жидкости. Существование противотечений эквивалентно наличию застойных точек в жидкости, что говорит о существовании локального экстремума кинетической энергии жидкости. Установлено, что у каждой компоненты скорости может быть не более одного нулевого значения. Таким образом, поток жидкости расслаивается на две зоны. В этих зонах касательные напряжения разного знака. Причем существует толщина слоя жидкости, при которой на нижней границе слоя жидкости касательные напряжения равны нулю. Данный физический эффект возможен только для классических ньютоновских жидкостей. Для поля температуры и давления справедливы те же свойства, что и для скоростей. Отметим, что в данном случае все нестационарные решения выходят на установившийся режим.

UR - http://elibrary.ru/item.asp?id=28149082

M3 - Статья

VL - 8

SP - 927

EP - 940

JO - Компьютерные исследования и моделирование

JF - Компьютерные исследования и моделирование

SN - 2076-7633

IS - 6

ER -