НЕРАВЕНСТВО БЕРНШТЕЙНА - СЕГЕ ДЛЯ ПРОИЗВОДНОЙ ВЕЙЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ В ПРОСТРАНСТВЕ L₀

Во множестве Tn тригонометрических полиномов fn порядка n с комплексными коэффициентами рассматриваются производные Вейля (дробные производные) f(α)n вещественного неотрицательного порядка α. Неравенство ∥Dαθfn∥p≤Bn(α,θ)p∥fn∥p для оператора Вейля - Сеге Dαθfn(t)=f(α)n(t)cosθ+f~(α)n(t)sinθ во множестве Tn тригонометрических полиномов является обобщением неравенства Бернштейна. Такие неравенства изучаются уже 90 лет. Г. Сеге в 1928 г. получил точное неравенство ∥f′ncosθ+f~′nsinθ∥∞≤n∥fn∥∞. В дальнейшем А. Зигмунд (1933) и А.И. Козко (1998) показали, что при p≥1 и вещественных α≥1 при всех θ∈R константа Bn(α,θ)p равна nα. Случай p=0 представляет дополнительный интерес в связи с тем, что константа Bn(α,θ)p является наибольшей по p∈[0,∞] именно при p=0. В.В. Арестов (1994) показал, что при θ=π/2 (в случае сопряженного полинома) для целых неотрицательных α величина Bn(α,π/2)0 имеет показательный рост по n и ведет себя как 4n+o(n). Из его результата следует, что при θ≠2πk поведение константы такое же. Но в случае θ=2πk и α∈N В.В. Арестов (1979) показал, что точная константа равна nα. Ранее автором (2018) исследовалось неравенство Бернштейна в случае p=0 для положительных нецелых α. Была получена логарифмическая асимптотика точной константы: Bn(α,0)0−−−−−−−−√n→4 при n→∞. В данной работе этот результат обобщается на все θ∈R.