ОПТИМИЗАЦИЯ ХАУСДОРФОВА РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Задачи аппроксимации множеств играют важную роль во многих областях математики и механики. Например, в теории дифференциальных игр и теории оптимального управления активно изучаются задачи аппроксимации множеств разрешимости и множеств достижимости управляемых систем. Так в исследованиях Н.Н. Красовского и А.И. Субботина, посвященных позиционным дифференциальным играм, одной из центральных является задача выделения множеств разрешимости - максимальных стабильных мостов. Эта задача может быть решена точно лишь в относительно редких случаях. И встает вопрос о приближенном построении этих множеств. В работах А.Б. Куржанского, Ф.Л. Черноусько и их сотрудников множества достижимости аппроксимируются эллипсоидами и параллелепипедами. В данной статье рассматривается вариант постановки задачи, когда заданное множество требуется аппроксимировать произвольными многогранниками. В евклидовом пространстве заданы два множества - многогранники и . Требуется найти такое положение многогранников, при котором хаусдорфово расстояние между ними было бы минимальным. Несмотря на геометрический характер постановки задачи, для ее исследования используется аппарат выпуклого и негладкого анализа. В теории управления одним из вариантов работы со множествами со сложной геометрией является аппроксимация их на плоскости наборами кругов равного радиуса. Основным компонентом их построения являются наилучшие -сети и их обобщения, описанные в частности А.Л. Гаркави. Авторами разработан алгоритм построения наилучших сетей на основе разбиения заданного множества на подмножества и отыскания их чебышевского центра. В общем случае качественные оценки отклонения множеств от их наилучших -сетей при росте даны А.Н. Колмогоровым. В статье выведена количественная оценка хаусдорфова отклонения одного класса. Приведены примеры построения наилучших -сетей.